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摘 要：主要講述應(yīng)用最小二乘法分析擬合質(zhì)量流量計(jì)（MFC）的工作曲線，以完善流量計(jì)的使用操作參數(shù)。首先根據(jù)已有的工作曲線通過(guò)擬合找出設(shè)定流量（msetting）—工作時(shí)間（t）的變化規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律擬合找到流量計(jì)的設(shè)定流量（m）穩(wěn)定時(shí)間（tsteady）曲線。并根據(jù)此結(jié)果指導(dǎo)流量計(jì)實(shí)際的工藝參數(shù)設(shè)定調(diào)整。

關(guān)鍵字：最小二乘法 曲線擬合 質(zhì)量流量計(jì)

    1 引言

    美國(guó)Emerson公司的Brooks 5850系列質(zhì)量流量計(jì)是UHP（包括半導(dǎo)體）行業(yè)常用的流量控制儀器之一。此種儀器采用熱質(zhì)量流量感知技術(shù)，具有反應(yīng)速度快，靈敏度高，精度高等特點(diǎn)。

    此種流量計(jì)有自己的一套工作曲線。如圖1所示。圖中明顯表明，當(dāng)流量進(jìn)行切換時(shí)，會(huì)存在一個(gè)時(shí)間的滯后，即流量計(jì)經(jīng)過(guò)一定時(shí)間才會(huì)達(dá)到新的設(shè)定值。如流量由0到滿量程時(shí)流量要經(jīng)過(guò)6s左右才達(dá)到設(shè)定值，由0到滿量程的20%也要3s左右。設(shè)定值變化的差越大，達(dá)到設(shè)定值的時(shí)間也越長(zhǎng)。因此如何在實(shí)際的使用中避免這種流量滯后帶來(lái)的影響，更好的使用此種流量計(jì)，對(duì)外延工作有重要的意義。

    此工作曲線上，部分設(shè)定流量變化與穩(wěn)定時(shí)間的特性曲線已經(jīng)描繪出來(lái)，但對(duì)實(shí)際生產(chǎn)使用來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)不夠全面。在實(shí)際生產(chǎn)中，特別是在設(shè)計(jì)工藝時(shí)，希望有確切的數(shù)學(xué)表達(dá)式。這里就是利用最小二乘法擬合的方法得到了設(shè)定流量m_setting與時(shí)間t的關(guān)系式以及流量計(jì)的流量m與滯后的穩(wěn)定時(shí)間t_steady的關(guān)系。

    2 最小二乘法原理

    下面用最小二乘法的曲線擬合技術(shù)對(duì)此圖的工作曲線進(jìn)行仔細(xì)分析，并設(shè)法得到更多的數(shù)據(jù)。

    在科學(xué)實(shí)驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)方法的研究中，由于因素的復(fù)雜性或其他原因，往往難以得到量與量之間一種確定的關(guān)系。常常只能從系統(tǒng)運(yùn)行中采集到反應(yīng)變量x和y之間的關(guān)系的一些數(shù)據(jù)。而不能確切的知道函數(shù)的表達(dá)式，然而對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行作某些定量分析，又常常需要函數(shù)表達(dá)式。最小二乘法是一個(gè)目前的解決手段之一。

    應(yīng)用最小二乘法的原理是對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)：

    （x₁，y₁）=1，2，…，p

    在函數(shù)類Φspan（Φ₁，Φ₂，…，Φ_n）中找到一個(gè)函數(shù)使其誤差的平方和滿足：

    其中：S（x）= a₀Φ₀（x） + a₁Φ₁（x） + … + a_nΦ_n（x）（n≤m）

    W（x）是[a，b]上的權(quán)函數(shù)，點(diǎn)（x_i，y₁）處的權(quán)W（x_i）表示該點(diǎn)數(shù)據(jù)的重要程度。求解最小二乘曲線問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極值問(wèn)題：

    3 最小二乘法在流量計(jì)工作曲線分析中的具體應(yīng)用

    從圖1特性曲線的線形來(lái)看，可用非線性最小二乘擬合。設(shè)定公式：

    m= ae^bt （1）

    首先對(duì)個(gè)流量變化0~99%量程的變化。進(jìn)行擬合。在曲線上取五個(gè)點(diǎn)，如表1。

    表1 設(shè)定流量為滿量程時(shí)的流量變化過(guò)程

    求得擬合曲線為：

    m_{setting，100} = 87.2373e ^{0.0319（t）}       （2）

    對(duì)于此種流量計(jì)，當(dāng)其流量從20%變?yōu)?0%時(shí)，根據(jù)傳感器的作用公式：

    △T = A·P·Cp·m                    （3）

    式中：△T 為傳感器探測(cè)到的溫度差。
          Cp 為在恒定壓力下的氣體比熱。
          P 為加熱器功率。
          M 是質(zhì)量流量。
          A 為比例常數(shù)。

    把（3）式變換后得：

    d（△T）= A·P·Cp·（dm）         （4）

    即流量的變化對(duì)結(jié)果的影響只與流量的變化范圍相關(guān)，與具體流量的位置無(wú)關(guān)。即流量從20%變?yōu)?0%時(shí)與流量從0%變?yōu)?0%時(shí)相同。

    由圖1中流量數(shù)據(jù)曲線，當(dāng)流量從0變到20%量程時(shí)：

    m_setting，20 = 14.7420e^{0.1071（t）}      （5）

    當(dāng)流量從20%變到80%量程時(shí)的曲線，即相當(dāng)于流量從0變?yōu)?0%時(shí)：

    m_setting，60 = 50.1442e^{0.0399（t）}     （6）

    所以得到表2的數(shù)據(jù)。

    表2 設(shè)定流量變化范圍與擬合公式參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)表

    表中只有三個(gè)設(shè)定流量隨時(shí)間的變化關(guān)系，而進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用時(shí)，會(huì)用到各種流量設(shè)定制。因此再應(yīng)用最小二乘法中的多項(xiàng)式擬合過(guò)程對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用以得到系數(shù)a，b與所有流量的變化關(guān)系式。擬合后a的關(guān)系式為：

    a = -2.1304+0.8436m_setting + 0.0005180m_setting²                                 （7）

    擬合后b的關(guān)系式為：

    b = 0.1697-0.003343m_setting + 0.m_setting²                              （8）

    結(jié)果得到擬合后的關(guān)系式：

             （9）

    此關(guān)系式即是設(shè)定流量與各自設(shè)定流量相關(guān)的滯后時(shí)間的關(guān)系式。應(yīng)用（9）式可推導(dǎo)出設(shè)定流量變化為

    m_setting，50 = 41.35e^0.0517t                 （10）

    即當(dāng)流量變化50%時(shí)，流量計(jì)是4.05s達(dá)到新的設(shè)定值。同理，當(dāng)設(shè)定流量變化80%時(shí)：

    m_setting，80 = 68.6728e^0.02808t           （11）

    則當(dāng)流量變化80%時(shí)，流量計(jì)要5.44s達(dá)到新的設(shè)定值。

    從圖2可以看出，擬合的設(shè)定流量的工作曲線與實(shí)際圖1的工作曲線十分接近。

    表3 設(shè)定流量變化與滯后的穩(wěn)定時(shí)間的對(duì)應(yīng)表

    把上述表格作曲線擬合，得到：

    t_steady = 0.0188-0.0056m + 0.2213m² + 0.0001m³               （12）

    此公式即是流量變化與所要的穩(wěn)定時(shí)間t_steady的關(guān)系式。應(yīng)用此公式，即可以用于平時(shí)的操作使用中。擬合后的圖形見(jiàn)圖3。

    4 結(jié)論

    在MOCVD生長(zhǎng)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)用到源的切換與流量的變化，進(jìn)行這些操作時(shí)，如果流量變化而引起的流量穩(wěn)定所要的時(shí)間會(huì)對(duì)生長(zhǎng)有很大的影響。比如在生長(zhǎng)超晶格量子阱結(jié)構(gòu)，或者VCSEL的反射鏡時(shí)，需要很多界面分明的薄層，如果反應(yīng)源切換的不及時(shí)，由于外延材料處在高溫反應(yīng)室內(nèi)，長(zhǎng)時(shí)間的高溫可能造成外延層表面及界面質(zhì)量的破壞，此時(shí)能及時(shí)通入反應(yīng)物原料在實(shí)際操作中顯得意義重大。當(dāng)流量有50%的變化時(shí)，通過(guò)計(jì)算得到流量的穩(wěn)定時(shí)間是5s，從而節(jié)省材料空置加熱時(shí)間。因此，公式（9）與公式（12）在實(shí)際操作中有很大的作用。

    5 討論

    根據(jù)此流量計(jì)內(nèi)的傳感器的作用公式（3），不論是混合氣還是單一組分氣體，當(dāng)組分恒定時(shí)，即d（Cp）=0時(shí)，上述推導(dǎo)是成立的。如果通過(guò)的氣體的組分是隨時(shí)間變化的，則公式（4）應(yīng)變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

    d（△T） = A·P·d（Cp·m ）          （13）

    此時(shí)流量的變化對(duì)結(jié)果的影響不只與流量的變化范圍相關(guān)，還與具體流動(dòng)的成分相關(guān)。則此時(shí)，流量變化后需要的穩(wěn)定時(shí)間，既與流量變化有關(guān)，又和具體的氣體相關(guān)。對(duì)于工藝上常用的氣體：如氦氣，氮?dú)猓瑲錃猓鯕獾龋诔夯虻蛪簳r(shí)，近似于理想氣體，則Cp=k·R（k=3/2，5/2等），是固定的數(shù)值，如果氣體組分變化是有規(guī)律的，即d（Cp）是可確定的，則穩(wěn)定時(shí)間與設(shè)定值的關(guān)系還是可以找到的。如果組分隨機(jī)變化，d（Cp）無(wú)法確定時(shí)，此時(shí)即使流量計(jì)的值設(shè)定不變時(shí)，由公式（13）也可知道，流量計(jì)的流量是波動(dòng)的。波動(dòng)的流量范圍與組分隨機(jī)變化的量相關(guān)。

    參考文獻(xiàn)

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    [2] 云舟工作室.MATLAB數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)教程.北京：人民郵電出版社，2001.